解题思路：要使对于任意的x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）-g（x2）|＜1，只需证明|f（x）min-g（x）max|＜1成立和|f（x）max-g（x）min|＜1成立即可，然后通过求导来计算出各自的最值
f（x）′=-e1-x（x2+ax-2x+1-a）
=-e1-x（x+a-1）（x-1）
∵a＞1
∴f（x）′≥0的解为[1-a，1]⊆[0，1]
∴f（x）在[0，1]上为单调递增函数，
故f（x）min=f（0）=e，f（x）max=f（1）=2+a
g（x）=
(−x+2a)(x+1)−1
x+1
=-x+2a-[1/x+1]
∴g（x）′=
1
(x+1)2-1
∴当x∈[0，1]时，g（x）′≤0
∴g（x）在[0，1]上为单调递减函数
∴g（x）min=g（1）=[4a−3/2]，g（x）max=g（0）=2a-1
∴|f（x）min-g（x）max|=|e+1-2a|＜1，|f（x）max-g（x）min|=|[5/2]-a|＜1同时成立
故a的取值范围为：（[e/2]，[3/2]）
点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义．
考点点评： 对于两个函数大小的比较，一般都可以转化为函数的最值和极值问题，常用的方法便是通过求导来解决．但要注意恒成立和存在这两种关系的区别．