Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）连结AB₁，交A₁B于点O，连结OD，利用三角形的中位线定理，推导出OD∥B₁C，由此能够证明B₁C∥平面A₁BD．

（Ⅱ）以D为坐标原点，以DC为x轴，以DB为y轴，以过D点垂直于AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-BD-B₁的余弦值．

（Ⅰ）连结AB₁，交A₁B于点O，连结OD，

∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=3，

∴ABB₁A₁是正方形，∴O是AB₁的中点，

∵D是AC的中点，∴OD是△ACB₁的中位线，∴OD∥B₁C，

∵B₁C不包含于平面A₁BD，OD⊂平面A₁BD，

∴B₁C∥平面A₁BD．

（Ⅱ）以D为坐标原点，以DC为x轴，以DB为y轴，

以过D点垂直于AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点，

∴A₁（-1，0，3），B（0，2

2，0），

D（0，0，0），B₁（0，2

2，3），

∴

DA1=（-1，0，3），

DB=（0，2

2，0），

DB1=（0，2

2，3），

设平面A₁BD的法向量

点评：

本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．