如图,点D是线段AB的中点,点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.

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  • 解题思路:(1)由CD垂直平分线AB,可得AC=CB,∴∠ACD=∠BCD,再加∠EDC=∠FDC=90°,可证得△ACD≌△BCD(ASA),∴CE=CF;

    (2)因为有三个角是直角,且邻边相等的四边形是正方形.所以当CD=[1/2]AB时,四边形CEDF为正方形.

    (1)证明:∵CD垂直平分线AB,

    ∴AC=CB.

    ∴△ABC是等腰三角形,

    ∵CD⊥AB,

    ∴∠ACD=∠BCD.

    ∵DE⊥AC,DF⊥BC,

    ∴∠DEC=∠DFC=90°

    ∴∠EDC=∠FDC,

    在△DEC与△DFC中,

    ∠ACD=∠BCD

    CD=CD

    ∠EDC=∠FDC,

    ∴△DEC≌△DFC(ASA),

    ∴CE=CF.

    (2)当CD=[1/2]AB时,四边形CEDF为正方形.理由如下:

    ∵CD⊥AB,

    ∴∠CDB=∠CDA=90°,

    ∵CD=[1/2]AB,

    ∴CD=BD=AD,

    ∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°,

    ∴∠ACB=90°,

    ∴四边形ECFD是矩形,

    ∵CE=CF,

    ∴四边形ECFD是正方形.

    点评:

    本题考点: 线段垂直平分线的性质;正方形的判定.

    考点点评: 此题主要考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定等知识点.