过点M(2,4)向圆C:(x-1)^2+(y+3)^2=1引两条切线,切点分别为P,Q.(1)直线PQ的方程 (2)切点

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  • 圆心C(1,-3)到M(2,4)的距离=√[(1-2)^2+(-3-4)^2]= √(50)

    在直角三角形MPC和MQC中,半径=1

    lMPl=lMQl=√(50-1)=7

    ∴我们要找的是圆上到点M距离为7的点

    ∴设切点坐标为(x,y)列方程组:

    1.(x-2)^2+(y-4)^2=7^2

    2.(x-1)^2+(y+3)^2=1

    2式减1式,得2x+14y+38=0,即x+7y+19=0,

    x,y的解的轨迹是一条直线.将最后的方程解完最后将会得到两个解,即是两个切点,而这两个切点坐标都满足x+7y+19=0,所以x+7y+19=0就是所要求的直线.

    下面求出直线x+7y+19=0被圆C:(x-1)^2+(y+3)^2=1截得的弦长即是PQ的长.

    圆心C(1,-3)到直线x+7y+19=0的距离为:

    d=|1-21+19|/√(1^2+7^2)=√2/10,

    圆的半径R=1,

    圆的半径、圆心到直线的距离、弦长一半构成直角三角形,

    所以弦长一半为√[1^2-(√2/10)^2]= 7√2/10,

    ∴PQ的长为7√2/5.