如图:点P为△ABC的中位线DE上任意一点,BP交AC于点N,CP交AB于点M,求证:AN/CN+AM/BM=1

2个回答

  • 过A点作BC的平行线,延长CM和BN分别与平行线相交于H和F点,

    因DE是三角形ABC的中位线,则DE‖BC,

    且HF‖BC,D是AB的中点,E是AC的中点,故DP是三角形AFB的中位线,DP=AF/2,且DE=BC/2,

    同理PE=AH/2,

    DE=(DP+PE)=(AH+AF)/2=HF/2,

    DE=BC/2,

    ∴HF=BC,

    ∵AF‖BC,〈AFN=〈CBN(内错角相等),〈ANF=〈CNB(对顶角相等),

    ∴△ANF∽△CNB,

    ∴AN/CN=AF/BC,.(1)

    同理,AM/BM=AH/BC,.(2),

    (1)式+(2)式,

    AN/CN+AM/BM=AF/BC+AH/BC=HF/BC=BC/BC=1,

    ∴AN/CN+AM/BM=1 ,证毕.