正三棱锥的内接球和外接球的半径怎么求

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  • 1、正三棱锥的外接球半径求法:

    设A-BCD是正三棱锥,侧棱长为a,底面边长为b,

    则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上.设高为AM,连接DM交BC于E,连接AE,然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O,则0就是外接球的球心,AO,DO是外接球的半径.

    (当三棱锥的侧棱与它的对面所成的线面角小于90度时,即角DAE小于90度时,球心在棱锥的内部;当线面角等于90度时,球心恰好在底面正三角形的中心M上;当线面角大于90度时,球心在棱锥的外部,在棱锥高AM的延长线.下面我给出的解法是第一种情况,球心在棱锥的内部.另两种情况你自己可以照理推出.)

    设AO=DO=R

    则,DM=2/3DE=2/3*2分之根号3倍的b=b/根号3

    AM=根号(a^2-b^2/3),

    OM=AM-A0=根号(a^2-b^2/3)-R

    由DO^2=OM^2+DM^2得,

    R=根号3倍的a^2÷2倍的根号(3a^2-b^2)

    2、内接球半径

    同样是这个三棱锥.内接球的球心也一定在这个三棱锥的高上.设高为AM,连接DM交BC于E,连接AE,然后在面ADE内做角AED的平分线交三棱锥的高AM于O,做OF垂直于AE,则0就是内接球的球心,OM=OF=r

    AE=根号(a^2-b^2/4)

    FE=ME=1/3AM=6分之根号3倍的b,

    AF=AE-FE=根号(a^2-b^2/4)-6分之根号3倍的b

    AO=AM-r=根号(a^2-b^2/3)-r

    由AO^2=OF^2+AF^2得

    r=[根号3倍b^2+3b倍根号(4a^2-b^2)]/12倍根号(3a^2-b^2)