Cauchy schwarz不等式：在复内积空间中,对任意两个向量α,β 有
|(α,β)|≤|α|•|β|(1)
当且仅当α,β线性相关时,（1）式取等号.
关于（1）式的证明,正宗的方法还是线性代数有关教材上的向量证法.
在大多数情况下,我们使用Cauchy schwarz不等式时,向量
α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)
中的a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是正实数.所以这为我们证明（1）式提供了更多的方法.在上面的条件下,（1）式可以写成
(a1b1+a2b2+…+anbn)²≤(a1²+a2²+…+an²)(b1²+b2²+…+bn²)(2)
(2)的证明,除向量证法外,还有三种.
第一,恒等变换求和.
第二,构造函数,利用判别式.
第三,用均值不等式.
前两种,有关书上都可以找到,第三种,发一个图.