如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠ABC=∠ADC=90゜,∠BAD=120゜,AD=AB=a,若PA

1个回答

  • 解题思路:(1)连结BD,AC交于点O,由AB=AD,AC=AC,∠ADC=∠ABC=90°,推断出△ABC≌△ADC,进而可知∠BAC=∠CAD,求得∠BAC,又AB=AD,∠BAD=120゜,则∠ABD可求,进而求得∠BOA=90°,即AC⊥BD,根据线面垂直的性质推断出PA⊥BD,进而利用线面垂直的判定定理推断出BD⊥平面PAC,又BD⊂平面PBD,推断出平面PBD⊥平面PAC.

    (2)连结PO,由A向PO作垂线,垂足为E,由于BO=OD,推断出△PBD的重心必在OP上,假设E为△PBD的重心,PA2=PG•PO=[2/3]PO2

    求得AO,进而利用勾股定理建立等式PO2=(λa)2+

    a

    2

    4

    ,求得λ.

    (1)证明:连结BD,AC交于点O,

    ∵AB=AD,AC=AC,∠ADC=∠ABC=90°,

    ∴△ABC≌△ADC,

    ∴∠BAC=∠CAD,

    ∵∠BAD=120゜,

    ∴∠BAC=60°,

    ∵AB=AD,∠BAD=120゜,

    ∴∠ABD=30°,

    ∴∠BOA=180°-30°-60°=90°,即AC⊥BD,

    ∵PA⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD,

    ∴PA⊥BD,

    ∵AC∩PA=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,

    ∴BD⊥平面PAC,

    ∵BD⊂平面PBD,

    ∴平面PBD⊥平面PAC.

    (2)连结PO,由A向PO作垂线,垂足为E,

    ∵BO=OD,

    ∴△PBD的重心必在OP上,假设E为△PBD的重心,

    则PA2=PG•PO=[2/3]PO2

    AO=[1/2]AB=[a/2],

    ∴PO2=(λa)2+

    a2

    4,

    ∴[2/3][(λa)2+

    a2

    4=(λa)2,求得λ=

    2

    2

    点评:

    本题考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质.

    考点点评: 本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用.在立体几何的解题过程中,作辅助线是较为关键的一步.