解题思路:(1)连结BD,AC交于点O,由AB=AD,AC=AC,∠ADC=∠ABC=90°,推断出△ABC≌△ADC,进而可知∠BAC=∠CAD,求得∠BAC,又AB=AD,∠BAD=120゜,则∠ABD可求,进而求得∠BOA=90°,即AC⊥BD,根据线面垂直的性质推断出PA⊥BD,进而利用线面垂直的判定定理推断出BD⊥平面PAC,又BD⊂平面PBD,推断出平面PBD⊥平面PAC.
(2)连结PO,由A向PO作垂线,垂足为E,由于BO=OD,推断出△PBD的重心必在OP上,假设E为△PBD的重心,PA2=PG•PO=[2/3]PO2,
求得AO,进而利用勾股定理建立等式PO2=(λa)2+
a
2
4
,求得λ.
(1)证明:连结BD,AC交于点O,
∵AB=AD,AC=AC,∠ADC=∠ABC=90°,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠BAC=∠CAD,
∵∠BAD=120゜,
∴∠BAC=60°,
∵AB=AD,∠BAD=120゜,
∴∠ABD=30°,
∴∠BOA=180°-30°-60°=90°,即AC⊥BD,
∵PA⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD,
∴PA⊥BD,
∵AC∩PA=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,
∴BD⊥平面PAC,
∵BD⊂平面PBD,
∴平面PBD⊥平面PAC.
(2)连结PO,由A向PO作垂线,垂足为E,
∵BO=OD,
∴△PBD的重心必在OP上,假设E为△PBD的重心,
则PA2=PG•PO=[2/3]PO2,
AO=[1/2]AB=[a/2],
∴PO2=(λa)2+
a2
4,
∴[2/3][(λa)2+
a2
4=(λa)2,求得λ=
2
2
点评:
本题考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质.
考点点评: 本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用.在立体几何的解题过程中,作辅助线是较为关键的一步.