Question

（2011•蜀山区二模）如图1所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，BE交AC

Answer 1

解题思路：（1）根据点B、D关于对角线AC对称，可得出P₁D+P₁E大于P₂D+P₂E的长；

（2）根据题意可得出在AC上到D、E两点距离最小的点连接BE与AC的交点，离交点越远到D、E两点的距离越大，则得出P₃的大体位置是F处；

（3）连接BE，交AC于点P，则PD+PE的和最小．根据三角形的三边关系定理可得出结论．

（1）由对称的性质得，P₁D+P₁E＞P₂D+P₂E；

（2）∵P₃是AC上另外一点，且P₃D+P₃E比P₁D+P₁E与P₂D+P₂E都小，

∴P₃是点F；

（3）连接BE，交AC于点P，连接DP．

∵点B与D关于AC对称，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小．

∵正方形ABCD的面积为12，

∴AB=2

3．

又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=2

3．

故所求最小值为2

3．

理由是：

在AC上任取一点Q，连接QD，QB，QE，

∵点B与D关于AC对称，

∴QD=QB，

∴QD+QE=QB+QE＞BE（三角形的任意两边之和大于第三边）．

∴PD+PE的和最小，最小值为2

3．

点评：

本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；轴对称-最短路线问题．

考点点评： 本题考查的知识点是轴对称-最短路径问题及正方形的性质、等边三角形的性质，此题的难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．