解题思路：（1）求导函数，根据函数的定义域，即可确定函数的单调性；
（2）如果当x≥1时，不等式
f(x)≥
k
x+1
恒成立，把k分离出来，再利用导数法确定函数的单调性，再求出函数最值即可；
（3）由（2）可得
lnx≥
x−1
x+1
＝1−
2
x+1
＞1−
2
x
，令x=n（n+1），则
ln[n(n+1)]＞1−
2
n(n+1)
，写出n个式子，叠加即可证明结论．
（1）求导函数，可得f′(x)＝
1−(1+lnx)
x2=[−lnx
x2
∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′（x）≤0，
∴函数f（x）在[1，+∞）上单调减
∴函数f（x）的单调减区间是[1，+∞）．
（2）不等式f(x)≥
k/x+1]，即为
(x+1)(1+lnx)
x≥k，记g(x)＝
(x+1)(1+lnx)
x，
所以g′(x)＝
[(x+1)(1+lnx)]′x−(x+1)(1+lnx)
x2＝
x−lnx
x2，
令h（x）=x-lnx，则h′(x)＝1−
1
x，
∵x≥1，∴h′（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，
从而g′（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
∴[g（x）]min=g（1）=2，所以k≤2
（3）证明：由（2）知：f(x)＞
2
x+1恒成立，即lnx≥
x−1
x+1＝1−
2
x+1＞1−
2
x，
令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1−
2
n(n+1)，
所以ln(1×2)＞1−
2
1×2，ln(2×3)＞1−
2
2×3，ln(3×4)＞1−
2
3×4，…，ln[n(n+1)]＞1−
2
n(n+1)．
叠加得：ln[1×22×32×…×n2×（n+1）]=n−2(1−
1
n+1)＞n−2+
1
n+1＞n−2
则1×22×32×…×n2×（n+1）＞en-2，
所以[（n+1）!]2＞（n+1）•en-2，（n∈N*）．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；对数函数的单调性与特殊点．
考点点评： 本题考查应用导数研究函数的极值最值问题，考查不等式的证明，有关恒成立的问题一般采取分离参数，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法．