Question

设f（x）= ax x+a （a≠0），令a 1 =1，a n+1 =f（a n ），又b n =a n •a n+1

Answer 1

（1）由a _n+1=f（a _n）可得： a n+1 =

a• a n

a n +a ．

将其变形可得a _n•a _n+1=a（a _n-a _n+1），即

1

a n+1 -

1

a n =

1

a ，

所以数列{

1

a n }是首项为1，公差为

1

a 的等差数列．

（2）由（1）可得

1

a n =1+(n-1)

1

a ，

所以

1

a n =

n-1+a

a ，即 a n =

a

n+a-1 ．

所以数列{a _n}的通项公式为 a n =

a

n+a-1 ．

（3）设S _n是数列{b _n}的前n项和．

由（1）可得b _n=a _n•a _n+1=a（a _n-a _n+1），

所以 S n =a( a 1 - a n+1 )=

na

n+a ．

所以数列{b _n}的前n项和为

na

n+a ．