已知,如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径作⊙O交AB于D,取AC中点E,连结OE,ED的延长线与CB的延

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  • 解题思路:(1)连接OD,求出OE∥AB,根据平行线性质和角平分线定义推出∠COE=∠EOD,证△OCE≌△ODE,推出∠ODB=∠OCE=90°,根据切线的判定推出即可;

    (2)证△FDO∽△FCE,推出[FO/FE]=[OD/EC]=[3/4],设FD=x,代入求出x,求出EF,根据锐角三角函数的定义求出即可.

    证明:(1)如图,连结OD,

    则OD=OC=OB,

    ∴∠OBD=∠ODB,

    又∵E为AC的中点,O是CB的中点,

    ∴OE∥AB,

    ∴∠COE=∠CBA,∠EOD=∠ODB,

    ∴∠COE=∠EOD,

    ∵在△OCE和△ODE中,

    OE=OE

    ∠COE=∠DOE

    OC=OD

    ∴△OCE≌△ODE(SAS),

    ∴∠ODB=∠OCE=90°,

    即ED⊥OD,

    ∵OD为半径,

    ∴DE是圆O的切线.

    (2)由OC=OD=OB=3cm,

    ED=EC=4cm,

    ∵∠F=∠F,∠FCE=∠FDO,

    ∴△FDO∽△FCE,

    ∴[FO/FE]=[OD/EC]=[3/4],

    设FD=x,

    x2+9

    x+4=[3/4],

    x=[72/7],

    ∴EF=[72/7]+4=[100/7],

    ∴sin∠F=[CE/EF]=[7/5].

    点评:

    本题考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了切线的判定,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力,题目比较好,综合性比较强.