Question

已知函数f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8．

Answer 1

解题思路：（I）利用导数的运算法则即可得出f′（x），分别解出f′（x）=0和f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出其单调区间、极值；

（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，因此F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）_min≥0，x∈[0，+∞）．

利用导数得出F′（x），通过对a分类讨论，利用其单调性即可．

（I）f′（x）=3x²+4x+1，令f′（x）=0，

解得x1＝−1或x2＝−

1

3．

列表如下：

x （-∞，-1） -1 (−1，−

1

3) −

1

3 (−

1

3，+∞)

f′（x） + 0 - 0 +

f（x） 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4；

当x＝−

1

3时，f（x）取得极小值为−

112

27．

（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，

∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）_min≥0，x∈[0，+∞），

若2-a≥0，显然F（x）_min=4＞0，

若2-a＜0，F′（x）=3x²+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝

2a−4

3，

当0＜x＜

2a−4

3时，F′（x）＜0；当x＞

2a−4

3时，F′(x)＞0．

∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(

2a−4

3)≥0，即(

2a−4

3)3−(a−2)(

2a−4

3)2+4≥0，

∴2＜a≤5，

当x=0时，F（x）=4满足题意．

综上所述a的取值范围为（-∞，5]．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论得出思想方法等是解题的关键．