已知函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8.

3个回答

  • 解题思路:(I)利用导数的运算法则即可得出f′(x),分别解出f′(x)=0和f′(x)>0和f′(x)<0即可得出其单调区间、极值;

    (II)设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,因此F(x)≥0在[0,+∞)恒成立⇔F(x)min≥0,x∈[0,+∞).

    利用导数得出F′(x),通过对a分类讨论,利用其单调性即可.

    (I)f′(x)=3x2+4x+1,令f′(x)=0,

    解得x1=−1或x2=−

    1

    3.

    列表如下:

    x (-∞,-1) -1 (−1,−

    1

    3) −

    1

    3 (−

    1

    3,+∞)

    f′(x) + 0 - 0 +

    f(x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数∴当x=-1时,f(x)取得极大值为-4;

    当x=−

    1

    3时,f(x)取得极小值为−

    112

    27.

    (II)设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,

    ∵F(x)≥0在[0,+∞)恒成立⇔F(x)min≥0,x∈[0,+∞),

    若2-a≥0,显然F(x)min=4>0,

    若2-a<0,F′(x)=3x2+(4-2a)x,令F′(x)=0,解得x=0或x=

    2a−4

    3,

    当0<x<

    2a−4

    3时,F′(x)<0;当x>

    2a−4

    3时,F′(x)>0.

    ∴当x∈(0,+∞)时,F(x)min=F(

    2a−4

    3)≥0,即(

    2a−4

    3)3−(a−2)(

    2a−4

    3)2+4≥0,

    ∴2<a≤5,

    当x=0时,F(x)=4满足题意.

    综上所述a的取值范围为(-∞,5].

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.

    考点点评: 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论得出思想方法等是解题的关键.