解题思路:(1)先判断g(x)二次项的系数,判断是否为二次函数,再求函数的最值求出a,
(2)求出函数的导数,根据导数求函数的极值和最值,画出图表,便于观察,求出函数的极值.
(1)存在x∈R,使得g(x)>0,
即存在x∈R,使得ax2-2x-2>0,
当a>0时,满足要求;当a=0时,满足要求;
当a<0时,△>0,解得−
1
2<a<0
综上得,a>−
1
2(4分)
(2)f(x)=ex•g(x)=ex•(ax2-2x-2)
∴f′(x)=(ex)′•(ax2-2x-2)+ex•(ax2-2x-2)′
=ex•(ax2-2x-2)+ex•(2ax-2)
=ex•[ax2+(2a-2)x-4]
设|sinx|=t,(0≤t≤1),则转化为求函数y=f(t),(0≤t≤1)的值域.
当a=0时,f′(x)=-2ex•(x+2)<0,此时函数f(t)在[0,1]上为减函数,
∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a-4)e,-2]
当a<0时,f′(x)=ex•[ax2+(2a−2)x−4]=a•ex•(x−
2
a)(x+2)<0
此时函数f(t)在[0,1]上为减函数,
∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a-4)e,-2](6分)
当a>0时,f′(x)=ex•[ax2+(2a−2)x−4]=a•ex•(x−
2
a)(x+2)
令f′(x)=0,解得x=
2
a或x=-2(舍).
当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:
若[2/a≥1,即0<a≤2时,函数f(t)在[0,1]上为减函数.
∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a-4)e,-2]
若0<
2
a<1,即a>2时,函数f(t)在(0,
2
a)上递减,在(
2
a,1)上递增
∴ymin=f(
2
a)=−2e
2
a]函数f(t)在[0,1]上的最大值为f(0)与f(1)中的较大者
∵f(0)=-2,f(1)=(a-4)e,∴f(1)-f(0)=(a-4)e+2
∴当a>4−
2
e时,f(1)>f(0),此时ymax=f(1)=(a-4)e;
当a=4−
2
e时,f(1)=f(0),此时ymax=f(0)=f(1)=-2;
当2<a<4−
2
e时,f(1)<f(0),此时ymax=f(0)=-2(13分)
综上,当a≤2时,函数f(|sinx|)的值域为[(a-4)e,-2];
当2<a≤4−
2
e时,函数f(|sinx|)的值域为[−2e
2
a,−2];
当a>4−
2
e时,函数f(|sinx|)的值域为[−2e
2
a,(a−4)e].(14分)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;函数的值域;函数恒成立问题.
考点点评: 该题考查函数的求导,和g(x)是否为二次函数的判断,注意在解答过程中不要忘记画图,在解答过程中容易忽略判断二次项的系数,该地方是易错点.