已知函数f(x)=ex•g(x),其中g(x)=ax2-2x-2.

1个回答

  • 解题思路:(1)先判断g(x)二次项的系数,判断是否为二次函数,再求函数的最值求出a,

    (2)求出函数的导数,根据导数求函数的极值和最值,画出图表,便于观察,求出函数的极值.

    (1)存在x∈R,使得g(x)>0,

    即存在x∈R,使得ax2-2x-2>0,

    当a>0时,满足要求;当a=0时,满足要求;

    当a<0时,△>0,解得−

    1

    2<a<0

    综上得,a>−

    1

    2(4分)

    (2)f(x)=ex•g(x)=ex•(ax2-2x-2)

    ∴f′(x)=(ex)′•(ax2-2x-2)+ex•(ax2-2x-2)′

    =ex•(ax2-2x-2)+ex•(2ax-2)

    =ex•[ax2+(2a-2)x-4]

    设|sinx|=t,(0≤t≤1),则转化为求函数y=f(t),(0≤t≤1)的值域.

    当a=0时,f′(x)=-2ex•(x+2)<0,此时函数f(t)在[0,1]上为减函数,

    ∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a-4)e,-2]

    当a<0时,f′(x)=ex•[ax2+(2a−2)x−4]=a•ex•(x−

    2

    a)(x+2)<0

    此时函数f(t)在[0,1]上为减函数,

    ∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a-4)e,-2](6分)

    当a>0时,f′(x)=ex•[ax2+(2a−2)x−4]=a•ex•(x−

    2

    a)(x+2)

    令f′(x)=0,解得x=

    2

    a或x=-2(舍).

    当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:

    若[2/a≥1,即0<a≤2时,函数f(t)在[0,1]上为减函数.

    ∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a-4)e,-2]

    若0<

    2

    a<1,即a>2时,函数f(t)在(0,

    2

    a)上递减,在(

    2

    a,1)上递增

    ∴ymin=f(

    2

    a)=−2e

    2

    a]函数f(t)在[0,1]上的最大值为f(0)与f(1)中的较大者

    ∵f(0)=-2,f(1)=(a-4)e,∴f(1)-f(0)=(a-4)e+2

    ∴当a>4−

    2

    e时,f(1)>f(0),此时ymax=f(1)=(a-4)e;

    当a=4−

    2

    e时,f(1)=f(0),此时ymax=f(0)=f(1)=-2;

    当2<a<4−

    2

    e时,f(1)<f(0),此时ymax=f(0)=-2(13分)

    综上,当a≤2时,函数f(|sinx|)的值域为[(a-4)e,-2];

    当2<a≤4−

    2

    e时,函数f(|sinx|)的值域为[−2e

    2

    a,−2];

    当a>4−

    2

    e时,函数f(|sinx|)的值域为[−2e

    2

    a,(a−4)e].(14分)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;函数的值域;函数恒成立问题.

    考点点评: 该题考查函数的求导,和g(x)是否为二次函数的判断,注意在解答过程中不要忘记画图,在解答过程中容易忽略判断二次项的系数,该地方是易错点.