解题思路：（1）连接PB，证明△PMB∽△PAB，得PM：PB=PB：AB，求出PM的表达式，从而得AP+2PM的函数关系式；
（2）根据二次函数的性质，求出函数在某一区间上的值域即可．
（1）如图所示，连接PB，
∵∠PBM=∠A，∠M=∠APB=90°，
∴△PMB∽△BPA；
∴PM：PB=PB：AB，
∴PM=
PB2
AB=
(2R)2−x2
2R，
∴AP+2PM=x+
4R2−x2
R
=-[1/R]x2+x+4R（0＜x＜2R）；
（2）∵函数y═-[1/R]x2+x+4R（0＜x＜2R）是二次函数，且a=-[1/R]＜0，
∴函数y在x=[R/2]时取得最大值y最大值=[17R/4]，
在x=0时，y=4R，x=2R时，y=2R；
∴函数y=-[1/R]x2+x+4R（0＜x＜2R）的值域是（2R，[17R/4]]．
点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数的值域．
考点点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质、圆中直径所对的圆周角等于90°以及求二次函数的值域问题，是综合题．