Question

已知F1（-2，0），F2（2，0）是椭圆C的两个焦点，过F1的直线与椭圆C的两个交点为M，N，且|MN|的最小值为6．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由题意，设椭圆C的方程为[x2/a2]+[y2/b2]=1（a＞b＞0），其中c=2，a²-b²=4．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．若直线MN⊥x轴，则MN的方程为x=-2，由此能够求出椭圆C的方程．

（Ⅱ）由A（-4，0），B（4，0）．当|MN|取得最小值时，MN⊥x轴．根据椭圆的对称性，取M（-2，3），∠AMB即直线AM到直线MB的角．由此能够求出∠AMB的大小．

（Ⅰ）由题意，设椭圆C的方程为[x2/a2]+[y2/b2]=1（a＞b＞0），其中c=2，a²-b²=4．

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．

若直线MN⊥x轴，则MN的方程为x=-2，代入[x2/a2]+[y2/b2]=1，得y²=b²（1-[4/a2]）=[b4/a2]，

∴|y₁-y₂|=[b2/a]，即|AB|=[2b2/a]．

若直线MN不与x轴垂直，则设MN的方程为y=k（x+2），代入[x2/a2]+[y2/b2]=1，

得 [x2/a2]+

k2(x2+4x+4)

b2=1，

即 （a²k²+b²）x²+4a²k²x+a²（4k²-b²）=0．

△=（4a²k²）²-4（a²k²+b²）a²（4k²-b²）

=4a²b²[（a²-4）k²+b²]=4a²b⁴（1+k²），

∴|x₁-x₂|=

2ab2

1+k2

a2k2+b2，

∴|MN|=

2ab2

1+k2

a2k2+b2•

1+k2

=

2ab2(1+k2)

a2k2+b2

=[2b2/a]•[1+k2

k2+

b2/a2]＞[2b2/a]．

综上，|MN|的最小值为[2b2/a]．

由题知 [2b2/a]=6，即 b²=3a．

代入a²-b²=4，得a²-3a-4=0，

解得a=-1（舍），或a=4．∴b²=12．

∴椭圆C的方程为[x2/16]+[y2/12]=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．

当|MN|取得最小值时，MN⊥x轴．

根据椭圆的对称性，不妨取M（-2，3），

∠AMB即直线AM到直线MB的角．

∵AM的斜率k₁=[3−0/−2+4]=[3/2]，

BM的斜率k₂=[3−0/−2−4]=-[1/2]，

∴tan∠AMB=[k2−k1/1+k1k2]=-8．

∵∠AMB∈（0，π），

∴∠AMB=π-arctan8．

点评：

本题考点： 椭圆的应用．

考点点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．