Question

已知函数f（x）=|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+m2-7m．

Answer 1

解题思路：（1）解方程f（x）=|m|，解得x=0，或x=2m．由题意可得 2m≥-4，且2m≠0，由此求得实数m的取值范围．

（2）命题等价于任意x₁∈（-∞，4]，任意的x₂∈[3，+∞），f_min（x₁）＞g_min（x₂） 成立，分m＜3、

3≤m＜4、4≤m三种情况，分别求出实数m的取值范围再取并集，即得所求．

（1）方程f（x）=|m|，即|x-m|=|m|，解得x=0，或x=2m．

要使方程|x-m|=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，

需 2m≥-4，且2m≠0．解得 m≥-2 且m≠0．

故实数m的取值范围为[-2，0）∪（0，+∞）．

（2）由于对任意x₁∈（-∞，4]，都存在x₂∈[3，+∞），使f（x₁）＞g（x₂）成立，

故有 f_min（x₁）＞g_min（x₂）成立．

又函数f（x）=|x-m|=

x−m ， x≥m

m−x ， x＜m，故f_min（x₁）=

0 ， m≤4

f(4) ＝m−4， m＞4．

又函数g（x）=x|x-m|+m²-7m=

x(m−x)+m 2−7m ，x＜m

x(x−m)+m 2−7m ， x≥m，

故g_min（x₂）=

点评：

本题考点： 带绝对值的函数；函数的最值及其几何意义；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题主要考查带有绝对值的函数，方程根的存在性及个数判断，函数最值及其几何意义，属于中档题．