解题思路:分别分析(0,T)和(-T,0)函数的根的数量.
因为函数是奇函数,所以在闭区间[-T,T],一定有f(0)=0,
∵T是f(x)的一个正周期,所以f(0+T)=f(0)=0,即f(T)=0,所以f(-T)=-f(T)=0,
∴-T、0、T是f(x)=0的根,若在(0,T)上没有根,则恒有f(x)>0或f(x)<0;
不妨设f(x)>0,则x∈(-T,0)时,f(x)<0,但又有f(x)=f(x+T)>0,矛盾.
∴f(x)=0在(0,T)上至少还有一个根.由于f(-[t/2])=-f([t/2])=f([t/2]),∴f(−
t
2)=f(
t
2)=0
同理,在(-T,0)上也至少还有一个根,
∴至少有5个根.
故选D
点评:
本题考点: 函数奇偶性的性质;函数的周期性.
考点点评: 本题主要考查函数的奇偶性.在本题中注意推论的严密性.