Question

一个因式分解题目轮换法做因式分解（x+y+z)^5－（y+z－x)^5－（z+x－y)^5－（x+y－z)^5

Answer 1

令x=0,则

(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5

=(y+z)^5-(y-z)^5-(-y+z)^5-(y+z)^5

=0

所以分解式中含因式x,同理可得也含y、z

从而分解式中含因式xyz

又因为(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5是五次轮换对称式,

所以除去xyz外,还有二次轮换对称式,

只能是k（x^2+y^2+z^2）

或者k[（x+y）^2+（y+z）^2+（z+x）^2]

或者k[（x-y）^2+（y-z）^2+（z-x）^2

用代定系数法可算出k=80,并排除后两种情况,

可得,原式=80xyz(x^2+y^2+z^2)