已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,试判断f(x)在(0,

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  • 解题思路:利用单调性定义进行判断,设x1<x2,则利用f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1),可得f(x2)>f(x1),即可得到结论.

    设0<x1<x2,则f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1

    又∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>0,∴f(x1)+f(x2-x1)>f(x1),

    ∴f(x2)>f(x1),

    ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

    点评:

    本题考点: 抽象函数及其应用.

    考点点评: 本题考查用定义法研究函数的单调性.正确运用定义是关键.