Question

若a^x≥x^a对任意x∈（0,+∞）恒成立,则正数a的取值集合为?

Answer 1

在不等式a^x≥x^a

两边取自然对数得

xlna≥alnx

因a>0,x>0

所以有(lna)/a≥(lnx)/x

这样问题转化为：

不等式(lna)/a≥(lnx)/x,对任意x∈（0,+∞）恒成立

只需(lna)/a≥(lnx)/x的最大值

令f(x)=(lnx)/x x∈（0,+∞）

则f'(x)=(1-lnx)/x²

当x∈（0,e]时f'(x)>0 增函数

当x∈[e,+∞）时f'(x)f(e)是不可能的

那只能够f(a)=f(e)

所以a=e

a的取值集合为{e}