Question

已知|M1M2|=2，点M与两定点M1，M2距离的比值是一个正数m．

Answer 1

解题思路：（1）以线段M₁M₂的中点为原点，直线M₁M₂为x轴建立直角坐标系，利用点M与两定点M₁，M₂距离的比值是一个正数m，建立方程，即可得出结论；

（2）求出当m=2时，点M的轨迹与以M₁M₂为直径的圆的方程，即可求出公共点所在的直线方程．

（1）以线段M₁M₂的中点为原点，直线M₁M₂为x轴建立直角坐标系．

设M₁（-1，0），M₂（1，0），M（x，y）由已知得：

(x+1)2+y2＝m

(x−1)2+y2，（m＞0）

化简得：（m²-1）x²+（m²-1）y²-2（m²+1）x+m²-1=0…（4分）

当m=1时，点M在线段M₁M₂的垂直平分线上，方程为x=0，即y轴；

当m≠1时，配方得：(x−

m2+1

m2−1)2+y2＝

4m2

(m2−1)2

表示圆心在(

m2+1

m2−1，0)半径为[2m

|m2−1|的圆．

（2）当m=2时，点M的轨迹方程为3x²+3y²-10x+3=0，

以M₁M₂为直径的圆的方程为x²+y²=1，

∴点M的轨迹与以M₁M₂为直径的圆的公共点所在的直线方程为x=

3/5]．

点评：

本题考点： 轨迹方程；直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查轨迹方程，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．