Question

证明两个可积函数的复合函数不一定是可积函数（即举一个反例）

Answer 1

可以举这样的反例：

令f(x)=1,当x不等于0时； f(x)=0,当x=0时.

g(x)=1/n, x=m/n, m,n是互素整数(n>=1); g(x)=0, 当x是无理数时.

则f(x),g(x)在有限区间[0,1]上都可积.

但是 f[g(x)]=0, 当x是无理数； f[g(x)]=1, 当x是有理数.

所以f[g(x)]在任何区间上不可积.

因此两个可积函数的复合函数不一定是可积函数.