Question

x2+y2+z2=1 求1/x2+1/y2+1/z2最小值

Answer 1

1/x² +1/y²+1/z²

=(x²+y²+z²)/x² +(x²+y²+z²)/y² +(x²+y²+z²)/z²

=1 +(y/x)² +(z/x)² +1 +(x/y)²+(z/y)² +1+(x/z)²+(y/z)²

=[(x/y)²+(y/x)²]+[(y/z)²+(z/y)²]+[(x/z)²+(z/x)²]+3

由均值不等式得(x/y)²+(y/x)²≥2；(y/z)²+(z/y)²≥2 (x/z)²+(z/x)²≥2

以上三个不等式当x=y=z时取等号.

1/x² +1/y²+1/z²≥2+2+2+3=9

即当x=y=z时,1/x² +1/y²+1/z²取得最小值9.