Question

请教一道高数证明题?设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=f(1).证明：对自然数n>=2,必有m属于（0,1）,使得

Answer 1

证明：将m改为x,设F(x) = f(x)-f(x+1/n)

因为f(x)在[0,1]上连续,所以F(x)在[0,1]上连续,得：

F(0) = f(0)-f(1/n)

F(1/n) = f(1/n)-f(2/n)

F(2/n) = f(2/n)-f(3/n)

……

F(n-2/n) = f(n-2/n)-f(n-1/n)

F(n-1/n) = f(n-1/n)-f(1)

将上面n个式子相加,得：F(0)+F(1/n)+……+F(n-1/n)=f(1)-f(0)=0(*)

所以由（*）式可知：必存在a,b属于（0,1）,使得F(a)*F(b)