Question

已知等差数列{an}为递增数列，且a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和Tn＝1−12bn

Answer 1

解题思路：（1）通过解二次方程求出方程的两个根，据数列{a_n}为递增数列为递增数列，求出a₂，a₅，利用等差数列的通项公式求出

数列{a_n}的公差，利用等差数列推广的通项公式求出其通项，利用数列{b_n}的前n项和与通项的关系求出数列{b_n}的通项．

（2）求出数列{c_n}的通项，求出c_n+1-c_n的差，判断出差的符号，得证．

（1）由题意得a₂=3，a₅=9

公差d＝

a5−a2

5−2＝2

所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-1

由Tn＝1−

1

2bn得

当n＝1时b1＝

2

3

当n≥2时bn＝Tn−Tn−1＝

1

2bn−1−

1

2bn

得bn＝

1

3bn−1

所以bn＝

2

3n

（2）由（1）得cn＝

4n+2

3n+1

∴cn+1−cn＝

4n+6

3n−1−

4n+2

3n+1＝

−8n

3n+2＜0

数列{c_n}减数列

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性．

考点点评： 解决等差、等比两个特殊数列，常利用等差、等比两个数列的通项公式及前n项和公式，列出关于基本量的方程组，解方程组求解．