Question

（2013•重庆模拟）如图，在三棱柱ABC=A1B1C1中，AC=3，CC1⊥平面ABC，BC=4，AB=5，AA1=4

Answer 1

解题思路：（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得CC₁⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC₁，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；

（3）取BC的中点M，连接DM，利用三角形的中位线定理可得

DM

∥

.

1

2

AC

，再利用线面垂直的性质定理可得DM⊥平面BCC₁B₁．利用三棱锥的体积计算公式即可得出．

（1）证明：∵底面三边长AC=3，BC=4，AB=5．

∴AB²=AC²+BC²，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC．

∵CC₁⊥平面ABC，AC⊂平面ABC．

∴AC⊥CC₁．

又BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁，

BC₁⊂平面BCC₁B₁，

∴AC⊥BC₁．

（2）证明：设CB₁∩BC₁=E，连接ED．

由正方形BCC₁B₁可得E为BC₁的中点，又D为AB的中点，∴AC₁∥ED．

∵ED⊂平面CDB₁，AC₁⊄平面CDB₁，

∴AC₁∥平面CDB₁．

（3）取BC的中点M，连接DM，则DM

∥

.

1

2AC，

∵AC⊥平面BCC₁B₁，∴DM⊥平面BCC₁B₁．

∴VC1−CDB1＝VD−CB1C1=[1/3S△CB1C1×DM=

1

3×

1

2×4×4×

3

2]=4．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

考点点评： 熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．