Question

已知函数f（x）=lnx-ax2+x（a∈R）

Answer 1

解题思路：（1）求导函数，令导数正负，分离参数，即可求得结论；（2）分类讨论，利用数形结合的方法，即可求a的取值范围．

（1）求导函数可得f′(x)＝

1

x−2ax+1

令f′(x)＝

1

x−2ax+1≥0，

∵x＞0，∴2a≤[1

x2+

1/x]=(

1

x+

1

2)2−

1

4

∵x＞0，∴

1

x2+

1

x≥0

∴2a≤0，∴a最大值为0

f′(x)＝

1

x−2ax+1≤0，即-2ax²+x+1≤0，函数在（0，+∞）内不是单调函数

综上，a最大值为0；

（2）由（1）知，a≤0，函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数，f（x）＞0

∴a＞0

构造函数y1＝lnx，y2＝ax2−x

∵对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，

∴对于任意的x∈（0，+∞），总有y₁＜y₂，即对于任意的x∈（0，+∞），y₁=lnx在y2＝ax2−x的下方，

如图所示，

∴0＜

1

a≤1，

∴a≥1

点评：

本题考点： 函数单调性的性质；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．