高数:设质量为m的船沿直线行驶,已知水的阻力F与速度v的立方成正比,t=0时v=v0且阻力F=F0;若时刻t=0时关闭动

3个回答

  • 设S为t的函数 即S=S(t)

    t 时刻的速度v=S' 加速度a=v'=S''(就是S对t求二次导数)

    设F=kv^3 (由题设F与v成正比 故设正比例系数为k) 那么F0=kv0^3 所以k=F0/v0^3

    a=-kv^3 (负号表示加速度方向与运动速度方向相反)

    从而S''=v'=-kv^3

    即 dv/dt=-kv^3 即 dv/(v^3)=-kdt 两边积分得到 (1/2)*(1/v^2-1/v0^2)=kt 从而v=v0/√(1 2kv0^2t)

    从而 S={对v积分} √(1 2kv0^2t) / (kv0) C (C为常数) 由于t=0时 S=0 故C=-1/(kv0)

    从而 S=√(1 2kv0^2t) / (kv0) -1/(kv0) 将v代入消去t的刀 S=1/(kv)-1/(kv0)

    从而 1/v-1/v0=kS=F0S/v0^3 得证