Question

已知圆C：x 2 +y 2 -2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的，使直线l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在

Answer 1

圆C化成标准方程为

，

假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b），

由于CM⊥ l，∴k _CM×k _l= -1，

∴k _CM=

，即a+b+1=0，得b=-a-1， ①

直线l的方程为y-b=x-a，即x-y+b-a=0，CM=

，

∵以AB为直径的圆M过原点，

∴|MA|=|MB|=|OM|，

，

，

∴

，②

把①代入②得，

，∴

或a=-1，

当

时，

，此时直线的方程为x-y-4=0；

当a=-1时，b=0，此时直线l的方程为x-y+1=0；

故这样的直线l是存在的，方程为x-y-4=0 或x-y+1=0。