已知f(x)=[(a2+1)/2]ln(1+x2)+ax (1)a=2时,求f(x)的极值 (2)当a<0时讨论f(x)

1个回答

  • 已知f(x)=(

    a2+1

    2

    )ln(1+x2)+ax.

    (1)a=2时,求f(x)的极值;

    (2)当a<0时,讨论f(x)的单调性;

    (3)证明:(1+

    1

    24

    )(1+

    1

    34

    )…(1+

    1

    n4

    )<e(n∈N*,n≥2,

    其中无理数e=2.71828L)考点:函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性.专题:导数的综合应用.分析:(1)当a=2时,利用导数

    先求出函数的单调性,然后判断函数的极值.(2)当a<0时,通过导数判断函数的单调性.(3)利用(2)的结论,通过构造函数,利用方缩法去证明不等

    式.f′(x)=

    (a2+1)x

    1+x2

    +a=

    ax2+(a2+1)x+a

    1+x2

    (ax+1)(x+a)

    1+x2

    ,

    (1)当a=2时,f′(x)=

    (2x+1)(x+2)

    1+x2

    .由f'(x)>0,解得x>−

    1

    2

    或x<−2,此时函数递增.

    由f'(x)<0,解得−2<x<−

    1

    2

    ,此时函数递减.所以当x=-2时,函数取得极大值f(−2)=

    5

    2

    ln5−4,

    当x=−

    1

    2

    时,函数取得极小值f(−

    1

    2

    )=

    5

    2

    ln5−1.

    (2)当-1<a<0时,由f'(x)>0,解得−a<x<−

    1

    a

    ,此时函数递增.由f'(x)<0,解得x>−

    1

    a

    或x<-a,此时函数递减.

    当a=-1时,f'(x)≤0恒成立,此时函数在R上单调递减.

    当a<-1时,由f'(x)>0,解得−

    1

    a

    <x<−a,此时函数递增.由f'(x)<0,解得x<−

    1

    a

    或x>-a,此时函数递减.

    综上:当a=-1时,函数的单调递减区间为R.

    当-1<a<0时,增区间为(−a,−

    1

    a

    ),单调减区间为(-∞,-a)和(−

    1

    a

    ,+∞).

    当a<-1时,增区间为(−

    1

    a

    ,−a),单调减区间为(-a,+∞)和(−∞,−

    1

    a

    ).

    (3)由(2)知当a=-1时,函数f(x)在R上单调递减.当x>0时,f(x)<f(0),所以ln(1+x2)-x<0,即ln(1+x2)<x.

    所以ln(1+

    1

    24

    )(1+

    1

    34

    )…(1+

    1

    n4

    )=ln(1+

    1

    24

    )+ln(1+

    1

    34

    )+…+ln(1+

    1

    n4

    )<

    1

    22

    +

    1

    32

    +…+

    1

    n2

    1

    1×2

    +

    1

    2×3

    +…+

    1

    n(n−1)

    =1−

    1

    2

    +

    1

    2

    1

    3

    +…+

    1

    n

    1

    n+1

    =1−

    1

    n

    <1,

    所以(1+

    1

    24

    )(1+

    1

    34

    )…(1+

    1

    n4

    )<e.点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,以及利用函数的单调性证明不等式,在证明不等式的过程中使用了方缩放证明不等式,综合性较强,难度较大