已知f(x)=(
a2+1
2
)ln(1+x2)+ax.
(1)a=2时,求f(x)的极值;
(2)当a<0时,讨论f(x)的单调性;
(3)证明:(1+
1
24
)(1+
1
34
)…(1+
1
n4
)<e(n∈N*,n≥2,
其中无理数e=2.71828L)考点:函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性.专题:导数的综合应用.分析:(1)当a=2时,利用导数
先求出函数的单调性,然后判断函数的极值.(2)当a<0时,通过导数判断函数的单调性.(3)利用(2)的结论,通过构造函数,利用方缩法去证明不等
式.f′(x)=
(a2+1)x
1+x2
+a=
ax2+(a2+1)x+a
1+x2
=
(ax+1)(x+a)
1+x2
,
(1)当a=2时,f′(x)=
(2x+1)(x+2)
1+x2
.由f'(x)>0,解得x>−
1
2
或x<−2,此时函数递增.
由f'(x)<0,解得−2<x<−
1
2
,此时函数递减.所以当x=-2时,函数取得极大值f(−2)=
5
2
ln5−4,
当x=−
1
2
时,函数取得极小值f(−
1
2
)=
5
2
ln5−1.
(2)当-1<a<0时,由f'(x)>0,解得−a<x<−
1
a
,此时函数递增.由f'(x)<0,解得x>−
1
a
或x<-a,此时函数递减.
当a=-1时,f'(x)≤0恒成立,此时函数在R上单调递减.
当a<-1时,由f'(x)>0,解得−
1
a
<x<−a,此时函数递增.由f'(x)<0,解得x<−
1
a
或x>-a,此时函数递减.
综上:当a=-1时,函数的单调递减区间为R.
当-1<a<0时,增区间为(−a,−
1
a
),单调减区间为(-∞,-a)和(−
1
a
,+∞).
当a<-1时,增区间为(−
1
a
,−a),单调减区间为(-a,+∞)和(−∞,−
1
a
).
(3)由(2)知当a=-1时,函数f(x)在R上单调递减.当x>0时,f(x)<f(0),所以ln(1+x2)-x<0,即ln(1+x2)<x.
所以ln(1+
1
24
)(1+
1
34
)…(1+
1
n4
)=ln(1+
1
24
)+ln(1+
1
34
)+…+ln(1+
1
n4
)<
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
<
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n−1)
=1−
1
2
+
1
2
−
1
3
+…+
1
n
−
1
n+1
=1−
1
n
<1,
所以(1+
1
24
)(1+
1
34
)…(1+
1
n4
)<e.点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,以及利用函数的单调性证明不等式,在证明不等式的过程中使用了方缩放证明不等式,综合性较强,难度较大