Question

如图,点C在以AB为直径的圆O上,CD⊥AB,垂足为P,设AP=a,PB=b

Answer 1

(1),

设圆心O,AP=a,PB=b,AB=AP+PB=a+b,

连接OC,OD,

OC=OD=AB/2=(a+b)/2,

OP=AO-AP=(a+b)/2-a=(b-a)/2,

直角三角形OPC与直角三角形OPD中

OC=OP,OP=OP,CP=√(OC²-OP²)=DP,

CD=CP+DP

=2CP

=2√(OC²-OP²)

=2√{[(a+b)/2]²-[(b-a)/2]²}

=2√{[(a+b+b-a)(a+b-b+a)]/4}

=2√[(2b)(2a)/4]

=2√(ab)

(2),

若a+b=10,即AB=10=2AO=2BO=2R,R=10/2=5,

ab=AP*PB

=(AO-PO)(BO+PO)

=(R-PO)(R+PO)

=R²-PO²

=5²-PO²

=25-PO²

当PO=0时,ab有最大值25.

故a=AO-PO=R-0=5,

a+b=10,

b=10-a=10-5=5.

[或:

当CD过O与AB垂直时,CD有最大值=AB=a+b=10,

因为CD=2√(ab),

所以2√(ab)=10,

ab最大值:ab=25,

又a+b=10,

解方程组:

(10-b)b=25,

b²-10b+25=0,

b=5,

a+b=10,

a=10-b=10-5=5.]