Question

已知椭圆E的焦点在x轴上,长轴为10,离心率为4/5.已知直线4X-5Y+40=0,椭圆E上的点到直线的最大距离是多少?

Answer 1

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,则

1)a=5,e=c/a=4/5

c=4

因为a²=b²+c²,则

b=3

所以(x²)/25+(y²)/9=1

2)椭圆下半部分的方程为y=-√(9-9x²/25),所以椭圆上的动点P(x,-√(9-9x²/25)),

P到4x-5y+40=0的距离:

d=(4x+5√(9-9x²/25)+40)/√(4²+5²)

3)要求最大值,考虑下面函数的最大值即可

f(x)=4x+5√(9-9x²/25)=4x+√(225-9x²)

f'(x)=0时,f(x)最大,d也最大

f'(x)=4-18x/√(225-9x²)=0,解得

x=-4(舍去)或x=4

综上,当x=4时d最大,此时,d=65√41/41