解题思路：利用等式的性质判断出“a=1且b=1”成立，一定能推出“a+b=2”成立，通过举例子判断出若“a+b=2”成立，推不出“a=1且b=1”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．
若“a=1且b=1”成立，一定能推出“a+b=2”成立，
所以“a=1且b=1”是“a+b=2”的充分条件；
反之，若“a+b=2”成立，例如a=3，b=-1，推不出“a=1且b=1”成立，
所以“a=1且b=1”是“a+b=2”的不必要条件；
所以“a=1且b=1”是“a+b=2”的充分不必要条件；
故选A．
点评：
本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
考点点评： 判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先判断前者是否推出后者，后者是否推出前者，据充要条件的有关定义进行判断．