Question

B为m阶对称正定阵,P是秩为r的m*r型矩阵,P^TBP=A,证明:证明:A是对称正定阵.

Answer 1

1.A'记作A的转置

A'=(P'BP)'=P'B'P

B为m阶对称正定阵,即B'=B

所以 A'=P'BP=A ,即A是对称的.

2.r维非零向量 x,x'Ax=x'(P'BP)x=(Px)'B(Px)

因为R(P)=r,所以P的列向量线性无关,x是非零向量,

即有Px也是非零向量,

又B为正定阵,所以(Px)'B(Px)>0

即 x'Ax>0

A为正定矩阵.

综上所述,A是对称正定阵.