解题思路：（1）根据垂径定理可得AB⊥CD，再根据相交弦定理可得CM2=AM•BM，根据勾股定理可得CM2=AC2-AM2，然后整理即可得证；
（2）用R、d表示出O1M，然后联立关于R、d的二元二次方程消掉R，求解得到d的值，再利用勾股定理列式求出CM，然后根据△ACM和△DBM相似，利用相似三角形对应边成比例列出求解即可；
（3）根据切线定义可得BF⊥AB，得到BF∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE=∠CEF，再根据EF∥AC利用两直线平行，内错角相等可得∠CEF=∠C，从而得到∠C=∠BFE，求出△ACM和△O1FB相似，根据相似三角形对应边成比例可得
AM
O
1
B
=
CM/BF]，再根据△AGM和△ABF相似，利用相似三角形对应边成比例可得[AM/AB]=[MG/BF]，然后整理即可得证．
（1）证明：∵直径AB和弦CD交于点M，点A为
CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴CM2=AM•BM，
即CM2=d（2R-d），
在Rt△ACM中，CM2=AC2-AM2=（2r）2-d2，
∴d（2R-d）=（2r）2-d2，
整理得，r2=[1/2]Rd；
（2）O1M=AO1-AM=R-d=[7/6]，
∴R=d+[7/6]，
∵AC=5，
∴r2=[1/2]Rd=（[5/2]）2=[25/4]，
∴Rd=[25/2]，
∴（d+[7/6]）d=[25/2]，
整理得，6d2+7d-75=0，
解得d1=3，d2=-[25/6]（舍去），
在Rt△ACM中，DM=CM=
AC2−AM2=
52−32=4，
∵∠ABD=∠ACD，∠AMC=∠DMB=90°，
∴△ACM∽△DBM，
∴[AM/DM]=[AC/BD]，
即[3/4]=[5/BD]，
解得BD=[20/3]；
（3）证明：∵BF是⊙O1的切线，
∴BF⊥AB，
又∵AB⊥D，
∴BF∥CD，
∴∠BFE=∠CEF，
∵EF∥AC，
∴∠CEF=∠C，
∴∠C=∠BFE，
又∵∠AMC=∠ABF=90°，
∴△ACM∽△O1FB，
∴[AM
O1B=
点评：
本题考点： 圆的综合题．
考点点评： 本题是圆的综合题型，主要利用了垂径定理，相交弦定理，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，（1）利用两种方法表示出CM2是解题的关键，（2）难点在于联立两个方程消掉R求出d的值，（3）两次利用三角形相似求出d、R的关系是解题的关键．
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