已知函数f(x)=ax3−3x2+1−3a.

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  • 解题思路:(1)先求出其导函数,利用导函数值的正负来求函数的单调区间,进而讨论出函数f(x)的单调性;

    (2)先求出曲线y=f(x)上的两点A、B的纵坐标均为函数的极值,把线段AB与x轴有公共点转化为f(0)f([2/a])≤0,再解不等式即可求出实数a的取值范围.(注意前提限制).

    解(1)由题设知a≠0,f'(x)=3ax2-6x=3ax(x-[2/a])

    令f'(x)=0⇒x=0,x=[2/a]

    当a>0时,若x∈(-∞,0),则f'(x)>0,故在(-∞,0)上递增;

    若x∈(0,[2/a]),则f'(x)<0,故在(0,[2/a])上递减;

    当x∈([2/a],+∞)时,则f'(x)>0,在([2/a],+∞)上递增.

    (2)由(1)的讨论及题设知,曲线y=f(x)上的两点A、B的纵坐标均为函数的极值,

    且函数y=f(x)在x=0,x=[2/a]处分别取得极值f(0)=1-[3/a],f([2/a])=[4

    a2-

    3/a]+1.

    因为线段AB与x轴有公共点,所以f(0)f([2/a])≤0,

    即([4

    a2-

    3/a]+1)(1-[3/a])≤0⇒

    (a+1)(a−1)(a−4)

    a3≤0.⇒a(a+1)(a-1)(a-4)≤0且a≠0.

    解得-1≤a<0或3≤a≤4.

    所以实数a的取值范围[-1,0)∪[3,4].

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.

    考点点评: 本题第一问主要研究利用导数研究函数的单调性.利用导数研究函数的单调性时,一般结论是:导数大于0对应区间为原函数的递增区间;导数小于0对应区间为原函数的递减区间.