解题思路：先把原方程变形为（k-1999）x+2000x=2001，得出x=2001k+1，然后求出2001的因数有16个．
原方程变形得：（k-1999）x+2000x=2001，
∴x=[2001/k+1]，
∵k为整数，
∴2001的因数有：1，3，23，29，69，87，667，2001，-1，-3，-23，-29，-69，-87，-667，-2001．
∴共有16个．
故选D．
点评：
本题考点： 二元一次方程的解．
考点点评： 本题主要考查了二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的是排除法．