什么是三角函数值?三角函数值的定义是什么?

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    • 余矢函数

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    三角函数

    开放分类: 数学、函数、三角形、几何、高中数学

    目录

    • 同角三角函数间的基本关系式:

    • 三角函数的角度换算

    • 部分高等内容

    • 特殊三角函数值

    • 三角函数的计算

    三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中,但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系.

    由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数.

    三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中,三角函数也是常用的工具.

    基本初等内容

    它有六种基本函数(初等基本表示):

    函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

    在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)有

    正弦函数 sinθ=y/r

    余弦函数 cosθ=x/r

    正切函数 tanθ=y/x

    余切函数 cotθ=x/y

    正割函数 secθ=r/x

    余割函数 cscθ=r/y

    (斜边为r,对边为y,邻边为x.)

    以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数:

    正矢函数 versinθ =1-cosθ

    余矢函数 coversθ =1-sinθ

    同角三角函数间的基本关系式:

    [编辑本段]

    ·平方关系:

    sin^2(α)+cos^2(α)=1

    tan^2(α)+1=sec^2(α)

    cot^2(α)+1=csc^2(α)

    ·积的关系:

    sinα=tanα*cosα

    cosα=cotα*sinα

    tanα=sinα*secα

    cotα=cosα*cscα

    secα=tanα*cscα

    cscα=secα*cotα

    ·倒数关系:

    tanα·cotα=1

    sinα·cscα=1

    cosα·secα=1

    直角三角形ABC中,

    角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

    余弦等于角A的邻边比斜边

    正切等于对边比邻边,

    ·三角函数恒等变形公式

    ·两角和与差的三角函数:

    cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

    cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

    sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

    tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

    tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

    ·三角和的三角函数:

    sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

    cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

    tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

    ·辅助角公式:

    Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

    sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

    cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

    tant=B/A

    Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

    ·倍角公式:

    sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

    cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

    tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

    ·三倍角公式:

    sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

    cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

    ·半角公式:

    sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

    cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

    tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

    ·降幂公式

    sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

    cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

    tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

    ·万能公式:

    sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

    cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

    tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

    ·积化和差公式:

    sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

    cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

    cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

    sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

    ·和差化积公式:

    sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

    sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

    cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

    cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

    ·推导公式

    tanα+cotα=2/sin2α

    tanα-cotα=-2cot2α

    1+cos2α=2cos^2α

    1-cos2α=2sin^2α

    1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

    ·其他:

    sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

    cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

    sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

    tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

    三角函数的角度换算

    [编辑本段]

    公式一:

    设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

    sin(2kπ+α)=sinα

    cos(2kπ+α)=cosα

    tan(2kπ+α)=tanα

    cot(2kπ+α)=cotα

    公式二:

    设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

    sin(π+α)=-sinα

    cos(π+α)=-cosα

    tan(π+α)=tanα

    cot(π+α)=cotα

    公式三:

    任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:

    sin(-α)=-sinα

    cos(-α)=cosα

    tan(-α)=-tanα

    cot(-α)=-cotα

    公式四:

    利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

    sin(π-α)=sinα

    cos(π-α)=-cosα

    tan(π-α)=-tanα

    cot(π-α)=-cotα

    公式五:

    利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

    sin(2π-α)=-sinα

    cos(2π-α)=cosα

    tan(2π-α)=-tanα

    cot(2π-α)=-cotα

    公式六:

    π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:

    sin(π/2+α)=cosα

    cos(π/2+α)=-sinα

    tan(π/2+α)=-cotα

    cot(π/2+α)=-tanα

    sin(π/2-α)=cosα

    cos(π/2-α)=sinα

    tan(π/2-α)=cotα

    cot(π/2-α)=tanα

    sin(3π/2+α)=-cosα

    cos(3π/2+α)=sinα

    tan(3π/2+α)=-cotα

    cot(3π/2+α)=-tanα

    sin(3π/2-α)=-cosα

    cos(3π/2-α)=-sinα

    tan(3π/2-α)=cotα

    cot(3π/2-α)=tanα

    (以上k∈Z)

    部分高等内容

    [编辑本段]

    ·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得):

    sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

    cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

    tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

    泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…

    此时三角函数定义域已推广至整个复数集.

    ·三角函数作为微分方程的

    对于微分方程组 y=-y'';y=y'''',有通解Q,可证明

    Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数.

    补充:由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣.

    特殊三角函数值

    [编辑本段]

    a 0` 30` 45` 60` 90`

    sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1

    cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0

    tana 0 √3/3 1 √3 None

    cota None √3 1 √3/3 0

    三角函数的计算

    [编辑本段]

    幂级数

    c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

    c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

    它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.

    泰勒展开式(幂级数展开法):

    f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

    实用幂级数:

    ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...

    ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|