解题思路：（1）把a=[4/3]代入
f(x)＝
e
x
1+a
x
2
，对f（x）进行求导，令f′（x）=0，解出其极值点；
（2）已知f（x）上的为单调函数，可知f′（x）在
[
1
2
，
3
2
]
恒大于等于0，或恒小于等于0，利用求出a的取值范围．
∵f′(x)＝
(ax2−2ax+1)ex
(1+ax2)2，
（1）当a＝
4
3时，若f'（x）=0，
则4x2−8x+3＝0⇒x1＝
1
2， x2＝
3
2，
x (−∞，
1
2) [1/2] (
1
2，
3
2) [3/2] (
3
2， +∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增∴x1＝
1
2是极大值点，x2＝
3
2是极小值点；
（2）记g（x）=ax2-2ax+1，则g（x）=a（x-1）2+（1-a），
∵f（x）为[
1
2，
3
2]上的单调函数，
则f'（x）在[
1
2，
3
2]上不变号，
∵
ex
(1+ax2)2＞0，
∴g（x）≥0或g（x）≤0对x∈[
1
2，
3
2]恒成立，
由g（1）≥0或g(
1
2)≤0⇒0＜a≤1或a≥
4
3，
∴a的取值范围是0＜a≤1或a≥
4
3．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．
考点点评： 此题主要考查利用导数求函数的单调性，解此题的关键是对f（x）能够正确求导，利用了转化的思想，是一道中档题；