解题思路：（1）连接AM，在直角△AMO中，根据三角函数就可以求出OM，就可以得到M的坐标．
（2）根据三角函数就可以求出A，B的坐标，抛物线经过点A、B、C，因而M一定是抛物线的顶点．根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（3）四边形ACBD的面积等于△ABC的面积+△ABP的面积，△ABC的面积一定，△ABP中底边AB一定，P到AB的距离最大是三角形的面积最大，即当P是圆与y轴的交点时面积最大．
（4）△PAB和△ABC相似，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出P点的坐标．
（1）如图（1），
连接MA、MB，
则∠AMB=120°，
∴∠CMB=60°，∠OBM=30度．（2分）
∴OM=[1/2]MB=1，
∴M（0，1）．（3分）
（2）由A，B，C三点的特殊性与对称性，知经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+c．（4分）
∵OC=MC-MO=1，OB=
MB2−OM2＝
3，
∴C（0，-1），B（
3，0）．（5分）
∴c=-1，a=[1/3]．
∴y=[1/3]x2-1．（6分）
（3）∵S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD，又S△ABC与AB均为定值，（7分）
∴当△ABD边AB上的高最大时，S△ABD最大，此时点D为⊙M与y轴的交点，如图（1）．（8分）
∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=[1/2]AB•OC+[1/2]AB•OD
=[1/2]AB•CD
=4
3cm2．（9分）
（4）方法1：
如图（2），
∵△ABC为等腰三角形，∠ABC=30°，
AB
BC＝
3，
∴△ABC∽△PAB等价于∠PAB=30°，PB=AB=2
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题主要考查了待定系数法求函数的解析式．并且本题考查了相似三角形的对应边的比相等．