Question

（2010•顺义区一模）在数列{an}中，已知a1=p＞0且log2（an+1an）=2n+1．

Answer 1

解题思路：由已知可知a_n•a_n+1=2²ⁿ⁺¹，a₁=p，代入可求a₂，a₃

（1）若数列{a_n}为等差数列，则2a₂=a₁+a₃，可求p

（2）由已知可知数列的奇数项、偶数项分别为等比数列，分类讨论求和即可

∵log₂a_n+1•a_n=2²ⁿ⁺¹

∴a_n+1•a_n=2²ⁿ⁺¹，

∵a₁=p

∴a2＝

8

p，a3＝

32

8

p＝4p

（1）若数列{a_n}为等差数列，则2a₂=a₁+a₃
即[16/p＝p+4p，p＞0

∴p＝

4

5

5]

（2）a1＝

4

5

5

，∴

an•an+1

anan−1＝

an+1

an−1＝22＝4

S_n=

p(1−4k)

1−4+

8

p(1−4k)

1−4＝

4k− 1

3p+

8(4k−1)

3p（n=2k，k∈N₊）

S_n=

4k−1

3p+

8(4k−1−1)

3p （n=2k-1，k∈N₊）

Sn＝

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列．

考点点评： 本题主要考查等差数列的通项公式的求解，等比数列的前n项和的求解，求和时体现了分类讨论的基本思想，这是高中数学的重要思想．