Question

规定C mx=x(x-1)…(x-m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且C 0x=1这是组合数C&

Answer 1

解题思路：（1）根据所给的组合数公式，写出C_-15⁵的值，这里与平常所做的题目不同的是组合数的下标是一个负数，在本题的新定义下，按照一般组合数的公式来用．

（2）C_n^m=C_n^n-m不能推广到C_x^m的情形，举出两个反例，C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m能推广到C_x^m的情形，可以利用组合数的公式来证明，证明的方法同没有推广之情况相同．

（3）分x≥m，和x＜0，根据组合数公式计算即可．

（1）：（1）C_-15⁵=

-15×(-16)×(-17)×(-18)×(-19)

5!=-11628；

（2）性质：C_n^m=C_n^n-m不能推广到C_x^m的情形不能推广，例如x=

2时，

C1

2有定义，但

C

2-1

2无意义；

性质：C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m能推广到C_x^m的情形，它的推广形式为

Cmx+

Cm-1x=

Cmx+1，x∈R，m∈N*，

证明如下：

当m=1时，有

C1x+

C10x=x+1

=C1x+1；

当m≥2时，有

Cmx+

Cm-1x=

x(x-1)…(x-m+1)

m!+

x(x-1)…(x-m+2)

m!=

x(x-1)(x-m+2)

(m-1)!（[x-m+1/m]+1）=

x(x-1)…(x-m+2)(x+1)

m!=

Cmx+1

（3）当x≥m时，组合数

点评：

本题考点： 组合及组合数公式；进行简单的合情推理．

考点点评： 本题考查组合数公式，不是在一般的情况下应用组合数公式，而是对于组合数公式推广使用，是一个中档题，题目解起来容易出错．这种题目对于学生帮助不大．