⑴∵f(x)=1/2（a^x+a^-x）过点（2,41/9）
∴41/9=1/2（a²+a-²﹚
9a^4-82a²＋9＝0
∴﹙a²－9﹚﹙9a²－1﹚＝0
∴a²＝9 或a²＝1／9
a＝3或a=1／3﹙∵a＞0﹚
∴f(x)=1/2（3^x+3^-x）
⑵∵1≤f(x)≤5／3
∴1≤1/2（3^x+3^-x）≤5／3
2≤3^x+3^-x≤10／3
而2≤3^x+3^-x对一切x都成立﹙利用重要不等式x＋y≥2√xy﹚
由3^x+3^-x≤10／3得
3×﹙3^x﹚²-10﹙3^x﹚＋3≤0
∴﹙3^x-3﹚﹙3×3^x-1﹚≤0
1／3≤3^x≤3
∴-1≤x≤1
综上-1≤x≤1