Question

已知椭圆x2+2y2=4，AB为椭圆的弦且以M（1，1）为中点，求以AB为直径的圆的方程．

Answer 1

解题思路：先设出直线AB的方程，根据AB为椭圆的弦且以M（1，1）为中点求出k，从而可求出线段AB的长得到半径，而圆心为点M，从而求出圆的方程．

由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-1=k（x-1），即 kx-y+1-k=0，

代入椭圆的方程化简得（1+2k²）x²+（4k-4k²）x+2k²-4k-2=0，

∴x₁+x₂=

4k2−4k

1+2k2=2，解得 k=-[1/2]，

∴x₁x₂=[1/3]

AB=

1+

1

4•

(x1+x2)2−4x1x2=

30

3

∴以AB为直径的圆的圆心为（1，1）半径为

30

6，圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=

点评：

本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题考查圆的方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，函数与方程的思想，是中档题．