Question

（2014?贵州二模）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=π2．AC=CB=AA1=2，E为BB1的中点，D在

Answer 1

（Ⅰ）∵AC=CB=2∠ACB＝

π

2，∴AB＝2

2，

设BD=a，则AD＝2

2?a．

在Rt△A₁AD中，tan∠A1DA＝

2

2

2?a

在Rt△BDE中，tan∠BDE＝

2

a

由∠A1DA+∠BDE＝

π

2，∴tan∠A₁DA×tan∠BDE=1，

∴BD＝

2，D为BC的中点．（3分）

又CA=CB，∴CD⊥AB，

由三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA₁⊥面ABC，

又CD?面ABC，∴CD⊥AA₁．（5分）

由AB∩AA₁=A，∴CD⊥面ABB₁A₁．（6分）

（Ⅱ）由条件如图建立空间直角坐标系C-xyz，

由（Ⅰ）得：C（0，0，0），A（2，0，0），

A₁（2，0，2），D（1，1，0）．

∵CB⊥面ACC₁A₁，

∴面A₁CA的法向量为

CB＝(0，2，0)，（8分）

设面DA₁C的法向量为

n＝(x，y，z)，

则