抱歉,看到你用的是一维思维,就注定一开始就错了.这个面积至少要以小面堆积而成,而不是你想的线动成面.
我们应该把那半个球看成无数的圆柱自下而上堆积起来的.而表面积就是圆柱侧面积的和.你的半径推导思维还是可以用的.
然后我们把球分为n个圆柱.每个高度n分一,然后半径就是√1-(1／n)² 侧面积就是(2π√1-(1／n)²）／n,然后求n趋于∞的极限
可以简单理解为当n趋于∞,
（1／n）趋于零,那么√1-（1／n）趋于1
侧面积的和的极限就趋于2π*1².也就是半个球.
一个球就变成4π*1²了
另外重积分的方法,你也可以看高数课本.涉及曲面积分思维那节