适用正交变换法将下列二次型转为标准型,并求出变换阵 f(X1,X2,X3)=2X1^2+X2^2-4X1X2-4X2X3

1个回答

  • 二次型的矩阵 A =

    2 -2 0

    -2 1 -2

    0 -2 0

    |A-λE| =

    2-λ -2 0

    -2 1-λ -2

    0 -2 -λ

    r1+(1/2)(2-λ)r2 - r3

    0 (1-λ)(2-λ)/2 -2(1-λ)

    -2 1-λ -2

    0 -2 -λ

    第1行提出 (1-λ), 再按第1列展开 = 2 乘

    (2-λ)/2 -2

    -2 -λ

    2乘到第1行上

    2-λ -4

    -2 -λ

    = λ^2 -2λ - 8 = (λ-4)(λ+2)

    所以 |A-λE| =(1-λ)(λ-4)(λ+2)

    特征值为 1,4,-2

    A-E 化成行简化梯矩阵

    1 0 1

    0 1 1/2

    0 0 0

    特征向量为: (2,1,-2), 单位化得 a1 = (2/3,1/3,-2/3)'

    A-4E 化成行简化梯矩阵

    1 0 -2

    0 1 2

    0 0 0

    特征向量为: (2,-2,1), 单位化得 a2 = (2/3,-2/3,1/3)'

    A+2E 化成行简化梯矩阵

    1 0 -1/2

    0 1 -1

    0 0 0

    特征向量为: (1,2,2), 单位化得 a3 = (1/3,2/3,2/3)'

    则 P = (a1,a2,a3) 是正交矩阵

    作正交线性变换 X = PY

    则二次型 f = y1^2 + 4Y2^2 -2y3^2