解题思路:先作出恰当的辅助线,再利用全等三角形的性质进行解答.
(1)显然△AED,△DEF,△ECF,△BDF都为等腰直角三角形,且全等,
则S△DEF+S△CEF=[1/2]S△ABC;
(2)图2成立;图3不成立.
图2证明:过点D作DM⊥AC,DN⊥BC,则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°,
又∵∠C=90°,
∴DM∥BC,DN∥AC,
∵D为AB边的中点,
由中位线定理可知:DN=[1/2]AC,MD=[1/2]BC,
∵AC=BC,
∴MD=ND,
∵∠EDF=90°,
∴∠MDE+∠EDN=90°,∠NDF+∠EDN=90°,
∴∠MDE=∠NDF,
在△DME与△DNF中,
∵
∠DME=∠DNF
MD=ND
∠MDE=∠NDF,
∴△DME≌△DNF(ASA),
∴S△DME=S△DNF,
∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF,
由以上可知S四边形DMCN=[1/2]S△ABC,
∴S△DEF+S△CEF=[1/2]S△ABC.
图3不成立,连接DC,
证明:△DEC≌△DBF(ASA,∠DCE=∠DBF=135°)
∴S△DEF=S五边形DBFEC,
=S△CFE+S△DBC,
=S△CFE+
S△ABC
2,
∴S△DEF-S△CFE=
S△ABC
2.
故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是:S△DEF-S△CEF=[1/2]S△ABC.
点评:
本题考点: 旋转的性质;直角三角形全等的判定.
考点点评: 利用作出的辅助线将不规则的三角形转化为直角三角形进行解决.