Question

设数列{an}是公比大于1的等比数列，Sn为其前n项和，已知S3=7且a1+3、3a2、a3+4成等差数列．

Answer 1

解题思路：（1）根据题意，列出关于{a_n}的首项与公差的方程组，求出首项、公差代入通项公式即得数列{a_n}的通项公式．

（2）将a_2n+1代入b_n，利用等差数列的定义判断出数列{b_n}是等差数列，利用等差数列的前n项和公式求出T_n．
（3）利用等差数列的性质：间隔相同的项取出的项仍为等差数列，利用等差数列的前n项和公式求出和．

（1）

a1+a2+a3＝7

a1+3+a3+4＝6a2解得a₂=2

设公比为q则

a2

q+a2+a2q＝7

解得q=2或q=[1/2]（舍去），

所以a₁=1，q=2

∴a_n=2^n-1

（2）b_n=ln2²ⁿ=2nln2

∴b_n+1-b_n=2ln2

∴数列{b_n}是公差为2ln2的等差数列

∴Tn＝

n(2ln2+2nln2)

2＝n(n+1)ln2

（3）a₂，a₅，a₈…a_3n+8是首项为a₂，公比为8，项数为n+3项的等比数列

∴a₂+a₅+a₈+…+a_3n+8=

2(1−8n+3)

1−8＝

2

7(8n+3−1)

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 解决等差数列及等比数列的问题时，一般的方法是利用通项公式及前n项和公式得到关于首项、公差、公比的关系．